La suma y resta de polinomios: ¿qué son y cómo se hacen?

Los polinomios son expresiones algebraicas que se forman por la suma o resta de términos llamados monomios. Los monomios son expresiones que se componen de un número llamado coeficiente y una o más letras llamadas variables, que pueden estar elevadas a un exponente natural.

Por ejemplo, el polinomio: 

3x2 + 5xy - 2y2 + 7 

está formado por cuatro monomios: 

3x2 

5xy 

-2y2 

y 

7 

La suma y resta de polinomios es una operación que consiste en combinar dos o más polinomios en uno solo, siguiendo unas reglas básicas. Estas reglas son: 

• Se ordenan los polinomios de forma que los monomios que tengan las mismas variables y los mismos exponentes queden alineados verticalmente. Si algún polinomio no tiene algún monomio, se deja un espacio vacío. 
• Se suman o restan las expresiones llamadas coeficientes de los monomios que están alineados, respetando el signo que los acompaña. El resultado se escribe debajo de la línea, conservando las variables y los exponentes. 
• Se simplifican los monomios que tengan coeficiente cero o que sean iguales y de signo contrario, eliminándolos del resultado final. 

Suma y resta de polinomios: explicado 

Para ilustrar mejor cómo se hace la suma y resta de polinomios, vamos a ver algunos ejemplos resueltos paso a paso. 

Ejemplo 1: Sumar los polinomios 

P(x) = 2x3 - x2 + 4x - 3 

y 

Q(x) = x3 + 2x2 - 3x + 5 

Paso 1: Ordenar los polinomios de forma que los monomios que tengan las mismas variables y los mismos exponentes queden alineados verticalmente. Si algún polinomio no tiene algún monomio, se deja un espacio vacío. 

P(x) =  2x^3 -  x^2 + 4x - 3 

Q(x) =   x^3 + 2x^2 - 3x + 5 

Paso 2: Sumar los coeficientes de los monomios que están alineados, respetando el signo que los acompaña. El resultado se escribe debajo de la línea, conservando las variables y los exponentes. 

P(x) =  2x^3 -  x^2 + 4x - 3 

Q(x) =   x^3 + 2x^2 - 3x + 5 

---------------------------- 

R(x) =  3x^3 +  x^2 +  x + 2 

Paso 3: Simplificar los monomios que tengan coeficiente cero o que sean iguales y de signo contrario, eliminándolos del resultado final. En este caso, no hay ningún monomio que se pueda simplificar, por lo que el resultado final es el mismo que el obtenido en el paso anterior. 

   R(x) =  3x^3 +  x^2 +  x + 2 

Ejemplo 2: Restar polinomios 

P(x) = 3x4 - 2x3 + x2 - 4x + 1 

y 

Q(x) = x4 + x3 - 2x2 + 3x - 2 

Paso 1: Ordenar los polinomios de forma que los monomios que tengan las mismas variables y los mismos exponentes queden alineados verticalmente. Si algún polinomio no tiene algún monomio, se deja un espacio vacío. 

   P(x) =  3x^4 - 2x^3 +  x^2 - 4x + 1 

   Q(x) = - x^4 -  x^3 + 2x^2 - 3x + 2 

Paso 2: Restar los coeficientes de los monomios que están alineados, respetando el signo que los acompaña. El resultado se escribe debajo de la línea, conservando las variables y los exponentes. 

   P(x) =  3x^4 - 2x^3 +  x^2 - 4x + 1 

   Q(x) = - x^4 -  x^3 + 2x^2 - 3x + 2 

   ---------------------------- 

   R(x) =  2x^4 - 3x^3 -  x^2 -  x – 1 

Paso 3: Simplificar los monomios que tengan coeficiente cero o que sean iguales y de signo contrario, eliminándolos del resultado final. En este caso, no hay ningún monomio que se pueda simplificar, por lo que el resultado final es el mismo que el obtenido en el paso anterior. 

   R(x) =  2x^4 - 3x^3 -  x^2 -  x - 1 

Trucos para identificar el grado del polinomio 

El grado del polinomio es el mayor exponente al que está elevada la variable en el polinomio. El grado del polinomio determina el número de raíces o soluciones que puede tener el polinomio, así como su forma gráfica. Algunos trucos para identificar este grado con facilidad son: 

• Ordenar el polinomio de forma que los monomios queden ordenados de mayor a menor exponente. El grado del polinomio será el exponente del primer monomio. 
• Sumar los exponentes de las variables de cada monomio. En este caso su grado será el mayor valor obtenido. 
• Eliminar los monomios que tengan coeficiente cero o que sean iguales y de signo contrario. El grado del polinomio será el mayor exponente que quede. 

Cómo se suman los monomios 

La suma de monomios es una operación que consiste en combinar dos o más monomios en uno solo, siguiendo unas reglas básicas. Estas reglas son: 

1. Solo se pueden sumar los monomios que tengan términos semejantes, es decir, las mismas variables y los mismos exponentes. Estos monomios se llaman semejantes. 
2. Para sumar los monomios semejantes, se suman los coeficientes, respetando el signo que los acompaña. El resultado se escribe conservando las variables y los exponentes. 

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