¿Qué es el método de Ruffini? Breve historia, procedimiento y ejemplo

La regla o método de Ruffini es una herramienta de reconocida importancia en el ámbito de las matemáticas, especialmente útil para la división de polinomios de quinto grado. Este método, que recibe el nombre del matemático italiano Paolo Ruffini, ofrece una alternativa simplificada al proceso tradicional de división larga.

Su importancia se encuentra en la capacidad que ofrece para descomponer polinomios de manera exacta y precisa, lo que facilita el análisis y resolución de problemas matemáticos complejos. En este texto, se mencionan aspectos históricos del método de Ruffini y una breve guía que presenta paso a paso cómo realizar este procedimiento. 

¿Quién fue Paolo Ruffini? 

Paolo Ruffini fue un matemático italiano que ejerció como profesor de la Universidad de Módena y otras instituciones de la época, en las que tuvo a su cargo cátedras de matemáticas. Testigo de la campaña de Italia que encabezó Napoleón Bonaparte, llegó a convertirse en rector de la universidad antes mencionada, además de recibir la licencia para desempeñarse como médico también Módena. 

Su trabajo más importante e influyente fue el planteamiento de lo que hoy se conoce como regla o método de Ruffini. Este método de división sintética consta de un algoritmo que permite la división de un polinomio por un binomio. En otras palabras, facilita la obtención tanto del cociente como del residuo de la división. El binomio cuenta con la forma x – r y el resultado puede ser negativo o positivo. 

¿Cómo surgió el método Ruffini? 

El método de Ruffini es el resultado de muchos intentos por alcanzar una solución para las ecuaciones polinómicas de quinto grado, puesto que las de grado inferiores habían sido ya resueltas por otros matemáticos, incluso, desde la Antigüedad. 

Este método, que plantea un algoritmo para realizar el procedimiento, es útil para encontrar las raíces de un polinomio. Al brindar la raíz, el polinomio es susceptible de factorización, es decir, su resolución. En términos incluso más simples, se crea una tabla con los coeficientes del polinomio para obtener una raíz y, luego, los coeficientes de un polinomio de grado menor, que deriva en la reducción del grado del polinomio hasta el segundo grado. 

El método fue parte de una de las publicaciones que hizo Ruffini, en el que argumentaba y presentaba el procedimiento para los polinomios antedichos. Años más tarde, este método sería abordado también por Niels Henrik Abel. También William George Horner abordó este problema, por lo que al método se le conoce alternativamente como método Ruffini-Horner. 

Planteamiento del método de Ruffini 

El método de Ruffini se utiliza como técnica para la división de polinomios mediante el binomio con la forma x–r. Es una alternativa simple y rápida a otros métodos tradicionales, cuya principal característica es la extensión de sus pasos, como en el álgebra. 

El algoritmo se expresa de la siguiente manera: 

• Polinomio P(x) 
• Divisor x – r 

Procedimiento del método Ruffini 

Ahora, conociendo esto, se sigue el siguiente procedimiento: 

Paso 1. Preparación

Supongamos que tienes un polinomio $𝑃(𝑥)$ que deseas dividir por un binomio de la forma $𝑥-𝑟$. Primero, debes escribir los coeficientes de $𝑃(𝑥)$ en orden descendente de sus potencias. Por ejemplo,

si $𝑃(𝑥)={𝑎}_{𝑛}{𝑥}^{𝑛}+{𝑎}_{𝑛-1}{𝑥}^{𝑛-1}+\dots +{𝑎}_1𝑥+{𝑎}_0$,

colocas los coeficientes ${𝑎}_{𝑛},{𝑎}_{𝑛-1},\dots ,{𝑎}_1,{𝑎}_0$ en una fila horizontal.

Paso 2. Establecer el divisor

Identifica el valor de $𝑟$ en el binomio $𝑥-𝑟$. Este valor de $𝑟$ será usado en los cálculos siguientes para modificar los coeficientes del polinomio.

Paso 3. Bajar el primer coeficiente

El primer coeficiente ${𝑎}_{𝑛}$ del polinomio se baja directamente y se escribe en la fila de abajo. Este será el primer coeficiente del cociente $𝑄(𝑥)$.

Paso 4. Multiplicación y suma iterativa

• Multiplica el coeficiente bajado por $𝑟$. El resultado de esta multiplicación se suma al siguiente coeficiente en la fila original (de $𝑃(𝑥)$).
• El resultado de esta suma se escribe en la fila de abajo y se convierte en el siguiente coeficiente del cociente $𝑄(𝑥)$.
• Repite este proceso de multiplicación por $𝑟$y suma con cada coeficiente subsiguiente del polinomio $𝑃(𝑥)$ hasta que todos los coeficientes hayan sido procesados.

Paso 5. Resultados

• El último número que resulta de la suma en la fila de abajo es el resto de la división.
• Los números antes de este último constituyen los coeficientes del cociente $𝑄(𝑥)={𝑏}_{𝑛-1}{𝑥}^{𝑛-1}+{𝑏}_{𝑛-2}{𝑥}^{𝑛-2}+\dots +{𝑏}_1𝑥+{𝑏}_0$.

Ejemplo práctico del método de Ruffini

Para hacer más claro este método, consideremos un ejemplo concreto:

Dividir $𝑃(𝑥)=2{𝑥}^3-6{𝑥}^2+2𝑥-1$ por $𝑥-3$.

• Preparación: Colocamos los coeficientes de $𝑃(𝑥)$: $2,-6,2,-1$.
• Establecer el divisor: Aquí, $𝑟=3$
• Bajar el primer coeficiente: Bajamos $2$.
• Multiplicación y suma iterativa:
  • Multiplica $2$ por $3$ para obtener $6$, y suma a $-6$ para obtener $0$.
  • Multiplica $0$ por $3$ para obtener $0$, y suma a $2$ para obtener $2$.
  • Multiplica $2$ por $3$ para obtener $6$, y suma a $-1$ para obtener $5$.
• Resultados: El cociente es $2{𝑥}^2+0𝑥+2$ y el resto es $5$.

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Diplomado en Estadística Aplicada - SIU

Diplomado en Analítica Prescriptiva - SIU